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收敛和发散

时间:2024-02-12 21:54:43 编辑:阿霞

WLOG,我们来考虑一下

首先 得有负数项,不然重排不影响发散。其次得有无限个负数项,不然忽略前有限项之后任然发散。

然后我们把这些负数项 单独拿出来,考虑 。如果这个级数收敛,say ,记 的部分和为 ,记 的一个重排的部分和为 ,应该会有 ,仍发散。

现在我们考虑 ,因为 ,正数项也得发散。我们还需要正数项和负数项的极限都为0,也就是 ,这样我们就可以用Rudin里黎曼重排定理的证明,存在收敛的重排。

如果 ,重排 ,所以 发散。

也就是说,如果 ,那么它有一个收敛的重排 有无限个负数项,这些负数项的和发散,并且 。

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